A partir de la session 2005, certains exercices des BAC S et ES contiendront des questions avec restitution organisée de connaissances (i.e. des questions sur des démonstrations de cours). De plus, la part consacrée aux initiatives et aux recherches sera un peu plus étoffée que pour la session 2004. (On peut voir des exemples de tels exercices sur le site eduscol). On pourra aussi consulter cette page d’explications sur le site de l’académie de Bordeaux.

Ci-dessous, sont proposés quelques exercices personnels permettant de se préparer à ce type d’épreuve. Bien sûr, on retrouve également de nombreuses questions classiques.

Dans un but pédagogique et formateur, ces exercices sont proposés sans les corrigés. Ceci permettra d’y réfléchir vraiment et de faire de réelles recherches. En cas de problèmes sur l’un d’entre eux, vous pouvez bien sûr venir en discuter sur le forum.

Cette liste d’exercices sera enrichie régulièrement.

Exercice 1

Thèmes : fonction logarithme et suites

Enoncé

Dans les deux premières questions de cet exercice sont utilisées et démontrées des propriétés de la fonction logarithme. Puis, on étudie à l’aide de suites, les coefficients directeurs des droites (OA_n) où A_n est un point de la courbe de la fonction logarithme ainsi que la longueur des cordes (A_nA_n+1).

Exercice 2

Thème : fonctions exponentielles de base a

Enoncé

Après avoir démontré quelques propriétés des fonctions exponentielles de base a, on étudie l’existence de solutions entières des équations 3^x + 4^x = 5^x, 3^x + 4^x + 5^x  = 6^x et 3^x + 4^x + 5^x + 6^x = 7^x.

Exercice 3

Thème : suites

Enoncé

Un inconvénient des QCM ou des « Vrai/Faux » sur les suites et qu’ils ne brisent pas les idées fausses (voire ils peuvent parfois les renforcer…). Pour pallier cet inconvénient, on propose un exercice où, partant de conditions données, on demande dans chaque cas de trouver un exemple de suite satisfaisante.

Exercice 4

Thème : continuité, dérivabilité

Enoncé

Un OUI ou NON (avec justifications à donner) sur la continuité et la dérivabilité. Utilisation de graphiques pour émettre des conjectures.

Exercice 5

Thème : géométrie dans l’espace

Enoncé

Les propriétés du tétraèdre sont très vastes ; on a choisit ici d’en montrer quelques unes relatives aux médianes et aux bimédianes dans un tétraèdre régulier. Puis, parmi ces propriétés, on étudie celles qui restent encore valables dans un tétraèdre quelconque.

Exercice 6

Thème : géométrie dans l’espace

Enoncé

Surfaces de niveau, dans l’espace, de l’application M à MA/MB où A et B sont deux points donnés.

Exercice 7

Thème : fonction exponentielle

Enoncé

On étudie les positions relatives entre la courbe de la fonction exponentielle et les droites d’équation y = ax. On en déduit certaines inégalités classiques.

Exercice 8

Thème : continuité, dérivabilité, logarithme

Enoncé 

Exercice 9

Thème : démonstrations des propriétés de l’exponentielle.

Enoncé

A partir des seules propriétés exp(0) = 1 et exp’ = exp sur R, on démontre les autres propriétés de la fonction exponentielle.

SUGGESTION : REMPLACER LES « VRAI ou FAUX » PAR DES « OUI ou NON ».

Le « VRAI ou FAUX » est un type d’exercice bien connu : l’énoncé propose un certain nombre de propositions et le candidat doit dire si elles sont vraies ou fausses. On peut exiger des justifications en demandant de démontrer les propositions vraies et de donner un contre-exemple aux propositions fausses.

Personnellement, je trouve que ce type d’exercice présente le défaut majeur de contenir certaines propositions fausses. Or, les élèves qui ont précisément les idées fausses sur la question vont répondre « VRAI ». Du coup, leurs fausses idées ne sont pas brisées et au contraire, l’énoncé risque de renforcer leurs convictions.

Dès lors, je suggère de remplacer les exercices du type « VRAI ou FAUX » par des exercices du type « OUI ou NON ». Ainsi, au lieu de contenir une liste de propositions (dont certaines sont fausses), l’exercice contient désormais une liste de questions. Ces questions ouvertes sont, à mon sens, plus favorables à la réflexion des élèves. De plus, on ne peut pas accuser l’énoncé d’induire en erreur puisqu’il ne fait que poser une question.

Pour un exemple d’exercice du type « OUI ou NON », voir le n° 4 ci-dessus.

Illustrons ces propos avec un exemple. Imaginons un élève pensant qu’une suite majorée est nécessairement croissante. Si dans un exercice du type « VRAI ou FAUX » on lui donne la proposition « toute suite majorée est croissante », il ne va même pas réfléchir et répondre tout de suite VRAI (quitte à faire une démonstration fausse). Tandis que si la question lui est posée : « une suite majorée est-elle nécessairement croissante ? », l’élève sera amené à douter et donc à réfléchir plus en profondeur à la question. On peut aussi présenter différemment l’exercice en demandant à l’élève de construire un exemple (ici, trouver une suite majorée et non croissante). Voir par exemple l’exercice n°3 ci-dessus.

ROC AU BAC S : POUR OU CONTRE ?

Mon avis sur cette question :

Même s’il est incontestable que nous souhaitons tous que les élèves apprennent mieux leur cours, le fait d’en faire une exigence d’un examen comme le BAC pose de nombreux problèmes. Et après une première impression plutôt favorable, les conditions actuelles (et en particulier les horaires insuffisants d’enseignement des mathématiques en série S) m’ont finalement fait changer d’avis et aujourd’hui je suis contre.

Voici mes raisons :

Ce qu'on appelle une démonstration de cours, c'est par exemple une question du genre "démontrez que la fonction logarithme transforme les produits en somme". Mais une telle question ne peut être posée ainsi sans un certain nombre de précautions. En effet, comment est définie la fonction logarithme ? Quels sont les outils dont on dispose ? Toutes ces informations devront être données dans l'énoncé ! En effet, les programmes donnent une certaine liberté aux enseignants sur la façon de définir le logarithme. Ils ont au moins trois possibilités :

- la réciproque de l'exponentielle

- la solution dérivable sur ]0, +oo[ de l'équation fonctionnelle f(ab) = f(a) + f(b) et vérifiant la condition f(1) = 0.

- la primitive de x |---> 1/x, sur ]0, +oo[, qui s'annule en 1.

Suivant la définition choisie par l'enseignant, la démonstration de cours n'est pas du tout la même ! (Il n'y a même rien à démontrer dans le cas n°2). On comprend donc l'intérêt qu'il y a à rappeler la définition considérée dans l'énoncé. Mais cela pose ensuite un autre problème. Pour les élèves qui auront travaillé toute l'année avec la même définition que celle de l'énoncé, il s'agira juste de restituer ce qu'ils ont appris en cours. Pour les autres, il y a un risque de déstabilisation : ils devront concevoir une démonstration différente de celle qu'ils ont vu en cours ! Ainsi, les élèves risquent de ne pas vraiment être égaux face à ces questions.

Bien sûr, ceci est un cas extrême et caricatural. Il y a certainement d'autres questions de cours envisageables qui ne posent pas tous ces problèmes, mais il est évident qu'il faut prendre d'infinies précautions en les posant. Les futurs concepteurs des sujets devront bien y réfléchir. En particulier, il est souhaitable de ne pas demander de démontrer des propriétés trop fondamentales car cela peut aussi déboucher sur un non-sens mathématiques : par exemple, comment corriger la copie d’un élève qui utiliserait l’exponentielle complexe pour prouver que arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) ?

Les premières expérimentations faites en classe sur les ROC (restitutions organisées de connaissances) sont assez catastrophiques et témoignent d’un certain manque d’habitude de la part des élèves face à ce type démarche. Si on veut que ces questions aient un sens pour les élèves, il me semble nécessaire de les préparer vraiment aux questions de cours dès la classe de seconde (ce qui est rarement fait actuellement). Pourquoi ne pas avoir institutionnalisé les ROC en seconde en 2005 pour les amener progressivement au BAC en 2007 ?

Par ailleurs, je pense que l'idée qu'il pourrait y avoir un "catalogue" des démonstrations exigibles pose problème. En effet, l'objectif d'une épreuve avec question(s) de cours n'est pas d'attendre des élèves qu'ils restituent une démonstration qu'ils auraient apprise par coeur au risque qu'ils n'en saisissent pas le sens profond. Au contraire, on attend des élèves qu'ils apprennent leur cours de manière intelligente et constructive (i.e. sans apprendre bêtement par cœur). Si on veut atteindre cet objectif, il faudra volontairement laisser des limites floues aux domaines qui sont exigibles ou non, ce qui va un peu à contre sens de ce que j'ai dit plus haut. Bref, le débat sur ce sujet est loin d'être aboutit !

Enfin, la dernière raison est purement quantitative. Actuellement, un élève de Terminale S bénéficie de 5,5 heures de Maths hebdomadaires (+ 2 heures s'il suit la spécialité). Malgré tout le savoir-faire et toute l'ingéniosité que les enseignants mettent dans l'organisation des notions et dans leur progression annuelle, il est impossible de mener à terme le programme actuel sans faire des choix et des concessions. Jusqu'à présent, certaines de ces concessions étaient justement de supprimer certaines démonstrations en cours afin de donner la priorité aux activités et à la recherche. Avec le projet de rendre exigibles certaines démonstrations, les enseignants vont se trouver dans une situation encore plus criante car, afin de préparer au mieux leurs élèves, ils se sentiront obligés de faire un maximum de démonstration en cours. Ce temps "prof" sera malheureusement pris sur du temps "élèves" et pour ces derniers, ce sera autant d'activités de recherche et d'approfondissement en moins. Au final, est-ce que ce sera plus formateur ?

C'est pourquoi, il est indispensable de revenir à des horaires de Maths suffisants pour atteindre tous ces objectifs (questions avec initiatives + ROC) : 7 heures hebdomadaires + 2 de spécialité sont nécessaires !

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- D’autres avis sur les ROC -

Raymond Barra :

          R.O.C., Restitution Organisée des Connaissances. Ce n’est pas du meilleur français, mais c’est sérieux, réfléchi, savant, les impôts des contribuables ne sont pas gaspillés.

Ainsi il existe des exercices de R.O.C. et nous ne le savions pas. Même l’IREM de Strasbourg, dans son remarquable fascicule sur la typologie des exercices les ignore. Mais nous avons des excuses. Car, de même que Monsieur Jourdain fait de la prose sans le savoir, sans le savoir non plus nous proposons des ROC à longueur d’années. En effet, n’importe quel exercice ne demande-t-il pas pour être résolu, de procéder à une reconstitution organisée des connaissances ? Qui pourrait le nier ? Ainsi ROC ou exercice c’est  «bonnet blanc, blanc bonnet » ?

Pourquoi les ROC ? Pour inciter les élèves à apprendre le Cours.

Tout pédagogue dont la réflexion  ne dépasse pas en profondeur le niveau fatidique au-delà duquel nul ne peut plus remonter en surface, dirait qu’il existe des moyens simples et sûrement efficaces. Il suffit que dans toutes les classes, dès la 6^ième, chaque contrôle fasse la part belle à une demande d’énoncés corrects de définitions, de théorèmes, et lorsque cela est possible, de démonstration d’un résultat établi dans le cours. Et donc qu’il est inutile de se creuser la tête pour fabriquer  des exercices qui ressemblent à des questions de cours sans en être vraiment, tout en  l’étant un peu, etc.….

Mais ce serait trop simple, la pédagogie étant ce qu’elle est devenue, nous ne pouvons plus procéder au troisième millénaire comme au deuxième. Comme par exemple dans les années 1950 lorsque l’épreuve comportait une « prétendue vraie » question de cours notée sur 10 dont l’énoncé bête et méchant tenait en une ligne ou deux, et un problème d’une demi-page noté sur 20.Aujourd’hui nous devons être plus subtils et à la lecture des exemples de ROC distribués par l’Administration, il est clair que nous le sommes devenus.

Ainsi dans le R 3 des exemples, plutôt que de dire naïvement  «  Définir une suite majorée, une suite non majorée », nous donnons deux propositions :

  P₁ : la suite (u_n) est majorée ; P₂ : la suite n’est pas majorée, puis la question : «  Donner la traduction mathématique des propriétés P₁ et P₂ ».Le progrès est énorme car ainsi, non seulement nous sollicitons la mémoire mais aussi l’intelligence du candidat qui doit d’abord se demander : comment traduit-on mathématiquement une phrase de mathématique ?

Mais notre subtilité atteindra-t-elle le but recherché ? Sur des forums des élèves disent leur inquiétude devant ce qu’ils croient être une nouveauté, mais pas tous loin de là, puisque d’autres qui ont tout compris calment ces inquiets en répondant que «de toutes façons ces exos ne comptent que pour 3 ou 4 points et nous arriverons toujours à en prendre un »

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