Cours de maths complets, exercices avec solutions rédigées

et recueils d’annales pour la Terminale S  (nouveaux programmes TS 2002)

 

Suites de nombres réels

Principe du raisonnement par récurrence (11 pages, 85 Ko)

Cours (24 pages, 156 Ko)

Plan du cours :

1. Définition d’une suite

2. Sens de variation d’une suite

3. Suite majorée, minorée, bornée

4. Comportement asymptotique d’une suite

5. Règles opératoires sur les limites

6. Quelques théorèmes de comparaison et d’encadrement

7. Etude de la convergence des suites géométriques

8. Etude des suites arithmético-géométriques (ou linéaires récurrentes d’ordre 1)

Exercices avec solutions (17 pages, 108 Ko)

Thèmes des exercices

1. Quelques résultats théoriques

2. Comportement asymptotique des suites géométriques

3. Etude d’une suite récurrente

4. Séries de Riemann

5. Suites de Héron

6. Etude d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2

7. Moyenne arithmético-géométrique

8. Divergence des suites (cos n) et (sin n)

9. Etude d’une suite définie de façon implicite

10. Etude d’une suite arithmético-géométrique

Recueil d’annales sur les suites (F. Demoulin) (14 pages, 160 Ko)

Continuité et dérivabilité

Cours sur la continuité (17 pages, 164 Ko)

Plan du cours :

1. Fonction continue en un point

2. Fonction continue sur un intervalle

3. Limite d’une suite et fonction continue

4. Théorème des valeurs intermédiaires

5. Fonction continue et strictement monotone sur un intervalle

6. Annexe : définitions rigoureuses des limites

Cours sur la dérivabilité (17 pages, 131 Ko)

Plan du cours :

1. Dérivabilité en un point

2. Différentes interprétations du nombre dérivé

3. Fonction dérivée

4. Application de la dérivation à l’étude de fonctions

5. Dérivation d’une fonction composée et applications

6. Tableaux des dérivées usuelles et opérations sur les dérivées

7. Etude de la fonction tangente

8. Quelques inégalités

9. Complément : inégalités des accroissements finis

Exercices corrigés (12 pages, 96 Ko)

Thèmes des exercices

1. Quelques résultats théoriques

2. Dérivation d’une composition de fonctions dérivables

3. Un exemple de fonction dérivable à dérivée non continue

4. Un petit théorème de point fixe

5. Où l’on applique le théorème de bijection à la dérivée

6. Une limite classique

7. Etude d’une fonction irrationnelle

8. Dérivabilité des fonctions sinus et cosinus sur R

9. Une bijection de R sur ]-1, 1[

10. On ne peut être dépassé par plus lent que soi

11. Utilisation de l’accroissement moyen pour déterminer une limite

12. Deux fonctions continues qui commutent sur un segment ont un point fixe commun

Fonctions exponentielles et logarithmes. Equations différentielles du type y’ = ky

TP d’introduction de la fonction exponentielle par la méthode d’Euler (5 pages, 39 Ko)

Equation différentielle y’ = ky. Introduction de l’exponentielle (9 pages, 79 Ko)

Plan du cours :

1. Equation différentielle y’ = y (Existence de solutions et unicité d’une solution vérifiant y(0) = 1)

2. Equation différentielle y’ = ky

3. Fonctions exponentielles et relation fonctionnelle f(u + v) = f(u)f(v). Conséquences

Fonctions exponentielles et logarithmes (19 pages, 135 Ko)

Plan du cours :

1. De la fonction exponentielle (de base e) à la fonction logarithme népérien

2. Etude de la fonction logarithme népérien

3. Fonctions exponentielles de base a (a > 0)

4. Dérivées des fonctions composées du type ln u et exp u

5. Fonctions puissances

6. Croissances comparées

7. D’autres logarithmes

8. Complément : fonctions ch et sh

Exercices résolus (pour approfondissement) (18 pages, 109 Ko)

Thèmes des exercices

1. Courbes de Gauss

2. Quadrature de l’hyperbole

3. Constante d’Euler

4. Série harmonique alternée

5. Equations différentielles du type y’ = ay + b et y’ = ay(1 – y). Phénomènes d’évolution : lois de Malthus et de Verhulst.

6. Etude d’une suite récurrente à l’aide d’une suite auxiliaire

7. Etude de l’équation ln x = xn

8. Comparaison entre x2 et 2x

9. Exercice avec prise d’initiative : comparaison de πe et eπ

10. Moyennes arithmétique et géométrique. Comparaison

Nombres complexes

Cours sur les nombres complexes (31 pages, 195 Ko)

Plan du cours :

1. Introduction

2. Construction du corps des nombres complexes

3. Représentation géométrique des nombres complexes

4. Conjugué d’un nombre complexe. Inverse d’un nombre complexe non nul

5. Module et argument d’un nombre complexe

6. Différentes formes d’écriture des nombres complexes

7. Formules de Moivre – Formules d’Euler

8. Nombres complexes et géométrie

9. Equations du second degré à coefficients réels

10. Equations du second degré à coefficients complexes

Exercices rédigés sur les nombres complexes (21 pages, 154 Ko)

Thèmes des exercices

1. Valeur exacte de cos(π/12) et sin(π/12)

2. Des pistes pour montrer qu’un complexe est réel ou imaginaire pur

3. Ecriture complexe de transformations

4. Lieux de points

5. Utilisation des nombres complexes pour établir une propriété algébrique

6. Identité du parallélogramme

7. Racines de l’unité. Applications

8. Transformation de a cos x + b sin x

9. Calcul de la valeur exacte de cos(2π/5) et cos(4π/5)

10. Carrés et parallélogramme

11. Des carrés autour d’un quadrilatère (théorème de Von Aubel)

12. Des carrés autour d’un triangle (configuration de Vecten)

13. Théorème de Napoléon

14. Nombres complexes et suites.

Recueil d’annales sur les complexes (F. Demoulin) (16 pages, 180 Ko)

Probabilités discrètes : généralités - conditionnement – Indépendance – Lois discrètes

Cours sur les probabilités : généralités, conditionnement, indépendance (22 pages, 187 Ko)

Plan du cours :

1. Expériences aléatoires, événements, lois de probabilités (rappels de première et compléments)

2. Variables aléatoires (rappels de première et compléments)

3. Probabilités conditionnelles

4. Indépendance

5. Modélisation d’expériences aléatoires. Arbres. Répétition d’expériences indépendantes.

Cours : dénombrement, lois de probabilités discrètes (18 pages, 140 Ko)

Plan du cours :

1. Principes de base du dénombrement (principe de la somme, principe multiplicatif)

2. Dénombrement des listes

3. Dénombrement des arrangements. Permutations

4. Dénombrement des combinaisons. Propriétés des coefficients binomiaux. Triangle de Pascal

5. Formule du binôme de Newton

6. Lois de probabilités discrètes : loi de Bernoulli, loi binomiale

Dénombrement : quelques situations de référence (5 pages, 31 Ko)

Exercices rédigés sur les probabilités discrètes (22 pages, 136 Ko)

Thèmes des exercices

1. Variables aléatoires et arbres

2. Détermination de la composition d’une urne pour obtenir une espérance de gain souhaitée

3. Problème de déconditionnement

4. Probabilités conditionnelles et suite arithmético-géométrique

5. Loi de l’équilibre génétique lors d’appariements au hasard. Loi de Hardy-Weinberg

6. Variables aléatoires et dénombrement

7. Sur la double partition d’une population. Différents cas de figure

8. Loi hypergéométrique, loi de Bernoulli, loi binomiale

9. Notion d’indépendance. Utilisation d’un arbre

10. Dénombrement – Loi binomiale

11. Test de séropositivité

12. Comparaison de l’efficacité de deux vaccins

13. Pertinence d’un test de dépistage

14. Estimation de la composition d’une urne.

15. Inégalité de Markov- Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Recueil d’annales de probabilités (F. Demoulin) (18 pages, 208 Ko)

Statistiques

Adéquation à une loi équirépartie (5 pages, 54 Ko)

Equations différentielles – Modèles d’évolution

Cours (24 pages, 239 Ko)

Plan du cours :

1. Introduction - Notion d’équation différentielle - Solution d’une équation différentielle

2. Equation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants sans second membre : y’ = ay

3. Equation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants avec second membre constant : y’ = ay + b

4. Equation différentielle linéaire d’ordre 1 à coefficients constants sans second membre variable : y’ay = f

5. Théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations différentielles linéaires d’ordre 1 à coefficients constants avec ou sans second membre.

6. Autres types d’équations différentielles : modèle de Verhulst, loi logistique continue. Méthode d’Euler pour les équations non résolubles.

7. 8. & 9. Compléments (second ordre à coefficients constants, premier ordre à coefficients variables)

Exercices rédigés sur les équations différentielles (16 pages, 119 Ko)

Thèmes des exercices

1. Du double au triple

2. Loi de refroidissement de Newton

3. Dissolution d’une substance

4. Taux d’alcoolémie

5. Modèle de Verhulst – Loi logistique continue : évolution de la taille d’une plante

6. Décharge d’un condensateur

7. Vitesse d’un parachutiste

8. Equation de Bernoulli

9. Une équation du second ordre sans terme d’ordre nul : y’’ = ay’ + b

10. Avec second membre variable

11. Désintégration des noyaux radioactifs. Temps caractéristique - Demi-vie – Datation au carbone 14

12. Une équation différentielle d’ordre 3

Calcul intégral

Cours (33 pages, 224 Ko)

Plan du cours :

1. Définition de l’intégrale dans le cas d’une fonction continue (ou continue par morceaux) et positive sur un segment.

2. Extension aux fonctions de signe quelconque sur un segment

3. Premières propriétés de l’intégrale d’une fonction sur un segment (positivité, compatibilité avec l’ordre, inégalité triangulaire, relation de Chasles, comptabilité avec l’addition

4. Notion de primitive d’une fonction sur un intervalle

5. Théorème fondamentale du calcul intégral. Formule de Newton-Leibniz

6. Parité et périodicité

7. Valeur moyenne d’une fonction

8. Intégration par parties

9. Calcul de volumes

10. Vrai/Faux

11. Quelques exercices

12. Complément 1 : intégrales de Riemann

13. Complément 2 : fonction gamma

14. Complément 3 : intégrales de Wallis

Recueil d’annales sur les intégrales (F. Demoulin) (11 pages, 136 Ko)

Espace

Cours sur le produit scalaire dans l’espace (15 pages, 97 Ko)

Plan du cours :

1. Définition du produit scalaire et conséquences (différentes expressions, lien avec l’orthogonalité)

2. Propriétés du produit scalaire (symétrie, bilinéarité, séparation, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire)

3. Applications du produit scalaire dans l’espace : équation cartésienne d’un plan, demi-espace, équation d’une sphère, distance d’un point à un plan, distance d’un point à une droite de l’espace

4. Complément : produit vectoriel (hors programme)

Cours sur le barycentre. Droites et plans de l’espace. Systèmes (18 pages, 148 Ko)

Plan du cours :

1. Barycentre de n points pondérés (théorème d’existence et d’unicité, réduction vectorielle, associativité)

2. Lien entre les barycentres et les droites, les segments et les plans

3. Représentation paramétrique d’une droite. Intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de deux droites

4. Systèmes d’équations linéaires : généralités, opérations élémentaires, méthode du pivot de Gauss, interprétation géométrique des systèmes 2 x 2 (dans le plan) et des systèmes 3 x 3 (dans l’espace)

Recueil d’annales de géométrie dans l’espace (F. Demoulin) (13 pages, 150 Ko)

Lois de probabilités continues

Cours sur les lois de probabilités continues (8 pages, 75 Ko)

Plan du cours :

1. Densité et loi de probabilité

2. Variables aléatoires continues. Loi uniforme. Loi exponentielle

3. Loi de durée de vie sans vieillissement

4. Loi de désintégration radioactive

5. Espérance d’une variable aléatoire continue

6. Liens entre le discret et le continu

Recueil d’annales de probabilités (F. Demoulin) (18 pages, 208 Ko)

 

Cette section se complètera au cours de la présente année scolaire.

D’autres exercices (souvent plus simples) sont proposés ci-dessous.

 

 

 

 

 

Cours et exercices pour la Terminale (S et ES) (anciens programmes)

 

Combinatoire et dénombrement 

Théorie des ensembles (2 pages, 21 Ko)

cours (9 pages, 59 Ko)

exercices (3 pages, 15 Ko)

exemples heuristiques de dénombrements  (4 pages, 29 Ko)

Probabilités

cours (10 pages, 69 Ko)

exercices (12 pages, 94 Ko)

Loi binomiale

cours (4 pages, 27 Ko)

Statistiques à deux variables

cours (5 pages, 42 Ko)

exercices (3 pages, 29 Ko)

Nombres complexes

cours (15 pages, 124 Ko)

exercices (8 pages, 54 Ko)

Produit scalaire et produit vectoriel dans l’espace euclidien 

cours (12 pages, 67 Ko)

Calcul barycentrique 

cours (7 pages, 45 Ko)

Exercices sur le calcul vectoriel et barycentrique dans le plan et l’espace

exercices (6 pages, 60 Ko)

Limites et continuité

cours (11 pages, 69 Ko)

exercices (2 pages, 19 Ko)

Calcul différentiel 

cours (14 pages, 86 Ko)

exercices (6 pages, 36 Ko)

Primitives 

cours (4 pages, 25 Ko)

exercices (3 pages, 13 Ko)

Fonction logarithme népérien  

cours (7 pages, 44 Ko)

Fonctions exponentielles et puissances 

cours (12 pages, 82 Ko)

Exercices sur les logarithmes et les exponentielles 

exercices (11 pages, 68 Ko)

Problème sur les logarithmes (corrigé, 4 pages, 29 Ko)

Problème sur les exponentielles (corrigé, 5 pages, 40 Ko)

Suites

cours (12 pages, 86 Ko)

exercices (4 pages, 36 Ko)

Récurrence (9 pages, 44 Ko)

Calcul intégral 

cours (17 pages, 131 Ko)

exercices (5 pages, 34 Ko)

Equations différentielles

cours (9 pages, 52 Ko)

exercices (1 page, 8 Ko)

Trigonométrie

Formulaire de trigonométrie (1 page, 8 Ko)

Cercle trigonométrique (2 pages, 38 Ko)

 

Attention : la disposition des chapitres ci-dessus n’est pas une suggestion de progression.

 

 

 

Les fiches méthodes sont désormais sur une page spécifique.

 

 

 

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