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Exercices d’Algèbre et de Géométrie

301 Exercices sur les groupes finis (avec solutions)

1. Théorème de Lagrange et conséquences. Applications : théorèmes d’Euler, de Fermat 

2. Groupes cycliques

3. Théorème de Cayley

4. Groupe diédral

5. Formule des classes. Applications aux p-groupes 

304 Exercices faisant intervenir le théorème de Bézout (avec solutions)

1. Théorèmes de Gauss et applications

2. Equation Diophantienne

3. Systèmes de congruences

4. Eléments inversibles de Z/nZ

5. Théorème Chinois, indicatrice d’Euler

6. Théorème des Noyaux

7. CNS. de diagonalisation d’un endomorphisme à l’aide d’un polynôme annulateur

307 Exercices faisant intervenir des dénombrements (avec solutions)

1. Questions simples et amusantes

2. Combinaisons avec répétitions. Applications

3. Formule d’inversion de Pascal. Applications

4. Nombres de Bell

5. Un théorème de scrutin

6. Variables aléatoire de Bernoulli non indépendantes

7. Stabilité de la loi binomiale 

308 Exercices faisant intervenir les relations entre coefficients et racines d’un polynôme

(avec solutions)

1. Construction du pentagone régulier

2. CNS pour qu’un polynôme de degré 3 admette une racine double (resp. trois racines réelles)

3. CNS pour qu’une matrice soit spéciale orthogonale

4. Triangle équilatéral inscrit dans une hyperbole

5. Un théorème de Joachimsthal pour l’ellipse

310 Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes (avec solutions)

1. Calcul des puissances d’une matrice à l’aide d’un polynôme annulateur

2. Théorème des Noyaux

3. CNS. de diagonalisation d’un endomorphisme à l’aide d’un polynôme annulateur

4. Formule d’inversion de Pascal. Applications : nombre de surjections, nombre de dérangements

5. Théorème de Cayley-Hamilton

311 Exercices faisant intervenir la notion de rang (avec solutions)

1. Utilisation du rang pour résoudre un système linéaire

2. Utilisation du rang pour résoudre une équation matricielle. Application au calcul de l’exponentielle d’une matrice

3. Utilisation du rang pour démontrer la formule de Grassmann

4. Lien entre la diagonalisation d’une matrice et transposée de sa comatrice

5. Utilisation du rang pour déterminer une CNS pour que noyau et image d’un endomorphisme coïncident

6. Exploitation du rang d’une matrice pour calculer son déterminant

7. Utilisation de diverses inégalités vérifiées par le rang d’applications linéaires

8. Utilisation du rang pour caractériser un endomorphisme antisymétrique par un produit vectoriel

313 Exercices faisant intervenir des systèmes linéaires (avec solutions)

1. Les sous-espaces propres sont en somme directe

2. Calcul de somme comportant des coefficients binomiaux

3. Recherche du développement limité d’une fonction réciproque

4. Théorème de la perpendiculaire commune

5. Formule d’inversion de Pascal. Applications : nombre de surjections, nombre de dérangements

6. Calcul d’une borne inférieure  

317 Exercices sur les endomorphismes diagonalisables (avec solutions)

1. Transposition de matrice

2. Calcul de l’exponentielle d’une matrice diagonalisable. Résolution d’un système différentiel

3. Si un endomorphisme f est diagonalisable, alors P(f) aussi (P polynôme)

4. Une CNS de diagonalisation (tout sev de E possède un supplémentaire stable par f)

5. CNS. de diagonalisation d’un endomorphisme à l’aide d’un polynôme annulateur

6. Propriétés topologiques de l’ensemble des matrices diagonalisables 

Exercices d’Analyse et de Probabilités

404 Exemples d’étude de la convergence de séries numériques (avec solutions)

1. Séries de Bertrand

2. Séries de terme général (-1)ⁿ/(αn + 1)

3. Série à termes complexe : utilisation du lemme de Lebesgue et de la règle d’Abel

4. Quelques équivalents sur les séries de Riemann

5. Règle de Raabe-Duhamel

6. Formule de Stirling

405 Exemples de calcul exact de la somme d’une série numérique (non corrigés)

1. Présentation de diverses méthodes

2. En utilisant zêta(2)

3. Utilisation d’une suite récurrente forte

4. Séries de terme général (-1)ⁿ/(αn + 1)

6. Série à termes complexe : utilisation du lemme de Lebesgue et de la règle d’Abel

7. Autour de la série harmonique alternée

8. Utilisation d’une série de Fourier

9. Expression de zêta(2p) en fonction des nombres de Bernoulli

407 Exemples d’évaluation asymptotique de restes de séries convergentes, de sommes partielles de séries  divergentes (non corrigés)

1. Cas des séries de Riemann

2. Formule de Stirling améliorée

3. Equivalent du reste d’une série convergente vérifiant certaines conditions

4. Etude d’une suite récurrente

5. Equivalent du reste d’une série alternée

6. Equivalent de la somme partielle des sommes des diviseurs d’entiers

408 Exemples d’étude de séries réelles ou complexes non absolument convergentes

(avec solutions)

1. Séries de terme général (-1)ⁿ/(αn + 1)

2. Série de terme général sin(π n ! e)

3. Série à termes complexe : utilisation du lemme de Lebesgue et de la règle d’Abel

4. Nature d’une série suivant les valeurs d’un paramètre

409 Exercices sur les suites de polynômes orthogonaux (non corrigés)

1. Polynômes orthonormés relativement à une fonction de poids quelconque (généralités)

2. Polynômes de Legendre

3. Polynômes de Tchebichev

4. Polynômes d’Hermite

5. Polynômes orthogonaux et équations différentielles

413 Exemples d’emploi de séries entières ou trigonométriques pour la recherche de solutions d’E.D.

(avec solutions)

1. Equation sans second membre. Recherche d’une solution développable en série entière. Raccords

2. Equation avec second membre admettant une solution développable en série entière

3. Une équation d’Euler (avec second membre)

4. Recherche de DSE de fonctions par la méthode de l’équation différentielle

5. Equation différentielle à coefficient complexe. Recherche de solution développable en série trigonométrique

6. Equation différentielle y’’ + y = |sin x|

422 Exemples d’étude d’intégrales impropres (avec solutions)

1. Intégrale de Dirichlet

2. Où l’on calcule deux intégrales impropres égales à l’aide de leur somme

3. Cas des applications continues f telles que l’intégrale de f(t)/t converge sur [1, +∞[

4. Règle d’Abel pour les intégrales impropres

5. Si l’intégrale de f sur [a, +∞[ converge, alors f a-t-elle une limite nulle en +∞ ?

434 Exemples d’étude probabiliste de situations concrètes (avec solutions)

1. Loi hypergéométrique

2. Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Approximation de la loi binomiale par la loi normale

4. Probabilités conditionnelles. Formule des probabilités totales

5. Calcul d’espérance pour des variables aléatoires continues

6. Notion d’indépendance, utilisation d’un arbre

7. Matrices stochastiques, chaînes de Markov

437 Exemples de problèmes de dénombrement (avec solutions)

1. Questions simples et amusantes

2. Combinaisons avec répétitions. Applications

3. Formule d’inversion de Pascal. Applications

4. Nombres de Bell

5. Un théorème de scrutin

6. Variables aléatoires de Bernoulli non indépendantes

7. Stabilité de la loi binomiale 

438 Exemples de calculs de la norme d’une application linéaire continue (avec solutions)

Série d’exercices aimablement envoyée par Thierry De Rago.

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