101. Parties génératrices d’un groupe (les généralités sur les groupes seront supposées connues). Exemples.

C : quelques développements possibles : les réflexions engendrent le groupe orthogonal. Générateurs du groupe linéaire.

102. Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples.

J : un groupe dont tous les sous-groupes sont cycliques est-il cyclique ?

103. Exemples de groupes finis. Applications.

104. Groupes opérant sur un ensemble. Exemples et applications.

105. Permutations d’un ensemble fini, groupe symétrique. Applications.

J : quelles sont les différentes façons de déterminer la signature d’une permutation ?

106. Congruences dans Z. Anneau Z/nZ. Applications.

C : Ce sujet est souvent traité de façon trop abstraite, au point de ne plus savoir résoudre une équation du type 14 x = 4 [6].

C : la structure d’anneau Z/nZ est à mettre en valeur.

107. Propriétés élémentaires liées à la notion de nombre premier.

108. PGCD, PPCM dans Z, théorème de Bézout. Applications.

C : ne pas rester dans les généralités en termes d’idéaux mais faire apparaître des propriétés de divisibilité.

109. PGCD dans K[X], théorème de Bézout. Applications.

110. Base de numération d’entiers. Applications.

111. Ecriture décimale d’un nombre réel ; cas des nombres rationnels.

112. Polynômes irréductibles à une indéterminée sur un corps commutatif. Factorisation. Cas des corps R ou C.

113. Racines d’un polynôme à une indéterminée sur un corps commutatif, multiplicité. Relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme scindé. Applications.

114. Racines n-ièmes de l’unité dans C.

C : utiliser la structure et les propriétés de C pour étudier les sous-groupes finis de C^*. En déduire, en corollaire, des propriétés sur les groupes cycliques abstraits.

115. Dimension d’un espace vectoriel admettant une famille génératrice finie. Rang d’une application linéaire.

116. Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel. Applications.

C : dans le plan, bien distinguer le cas de la dimension quelconque de celui de la dimension finie.

117. Rang en algèbre linéaire (on se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie).

118. Formes linéaires, hyperplans, dualité (on se limitera à des espaces vectoriels de dimension finie).

119. Endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie, polynôme d’endomorphisme.

120. Changements de bases en algèbre linéaire (applications linéaires, formes bilinéaires…). Applications.

121. Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Applications.

122. Déterminants. Applications.

123. Trigonalisation des endomorphismes, sous-espaces caractéristiques. Applications.

124. Endomorphismes diagonalisables.

125. Groupe des homothéties-translations dans le plan. Exemples et applications.

126. Espaces vectoriels euclidiens (dimension finie). Groupe orthogonal.

127. Groupe orthogonal d’un espace vectoriel euclidien de dimension 3.

128. Formes quadratiques sur un espace vectoriel sur R ou sur C. Classification dans chacun des deux cas.

129. Endomorphismes symétriques d’un espace vectoriel euclidien (dimension finie). Applications.

130. Endomorphismes hermitiens en dimension finie.

131. Formes quadratiques sur un espace vectoriel euclidien (dimension finie), applications géométriques (les généralités sur les formes quadratiques seront supposées connues).

132. Applications géométriques des nombres complexes.

133. Similitudes planes directes et indirectes, formes réduites.

134. Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applications.

135. Isométries de l’espace affine euclidien de dimension 3, formes réduites.

136. Géométrie du triangle. Relations métriques et trigonométriques.

B : La Géométrie du triangle (Sortais)

137. Barycentres. Applications.

138. Orientation d’un espace vectoriel euclidien de dimension 3, produit mixte, produit vectoriel, applications.

139. Droites et plans dans l’espace.

B : Géométrie de l’espace et du plan (Sortais)

140. Projecteurs et symétries dans un espace affine de dimension finie.

141. Polygones réguliers dans le plan.

142. La parabole dans le plan affine euclidien.

143. L’ellipse dans le plan affine euclidien.

144. L’hyperbole dans le plan affine euclidien.

145. Coniques dans le plan affine euclidien.

146. Cercles dans le plan affine euclidien.

147. Etude locale des courbes planes paramétrées.

148. Propriétés métriques locales des courbes de l’espace, en dimension 3.

149. Propriétés métriques locales des courbes planes.

150. Mouvement à accélération centrale.

151. Cinématique du point : vitesse, accélération. Exemples de mouvements.

301. Exercices sur les groupes finis.

C : le théorème de Cauchy est une belle application

302. Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z.

303. Exercices faisant intervenir la division euclidienne.

304. Exercices faisant intervenir le théorème de Bézout.

305. Exercices faisant intervenir les nombres premiers.

306. Exercices faisant intervenir les notions de PGCD et PPCM et mettant en œuvre des algorithmes associés.

C : un bel algorithme est celui du calcul du PGCD en base 2.

307. Exercices faisant intervenir des dénombrements.

308. Exercices faisant intervenir les relations entre coefficients et racines d’un polynôme.

309. Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles sur R ou C.

310. Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes.

311. Exercices faisant intervenir la notion de rang.

312. Exercices sur les matrices carrées inversibles.

C : ne pas se limiter à une succession de matrices dont on prouve l’inversibilité

313. Exercices faisant intervenir des systèmes linéaires.

314. Exercices faisant intervenir des déterminants.

C : ne pas se limiter à des calculs de déterminants

315. Exemples de recherche et d’emploi de vecteurs propres et valeurs propres.

316. Exercices faisant intervenir la réduction des endomorphismes.

317. Exercices sur les endomorphismes diagonalisables.

318. Exercices faisant intervenir des projecteurs ou des symétries.

319. Exemples de méthodes et d’algorithmes de calcul en algèbre linéaire.

320. Exercices sur les isométries vectorielles dans les espaces euclidiens en dimension 2 et en dimension 3.

321. Exercices faisant intervenir la réduction des matrices réelles symétriques.

322. Exercices sur les formes quadratiques.

323. Exercices de géométrie résolus à l’aide des nombres complexes.

C : ne pas se limiter aux translations et aux homothéties.

324. Exercices faisant intervenir des similitudes planes directes et indirectes.

325. Exercices faisant intervenir des isométries affines en dimension 2 et en dimension 3.

326. Exercices faisant intervenir la notion de barycentre.

327. Exercices faisant intervenir des applications affines.

328. Exemples de propriétés affines et de propriétés métriques en dimension 2 et en dimension 3.

329. Exercices sur les aires et les volumes de figures simples.

330. Exercices faisant intervenir les notions d’angles et de distances en dimension 2 et dimension 3.

331. Exercices sur la cocyclicité.

332. Exercices sur les cercles.

333. Exercices de géométrie plane faisant intervenir la notion d’angle.

334. Exercices de géométrie plane faisant intervenir des triangles isométriques ou semblables.

335. Exercices sur les coniques.

336. Exemples d’étude de courbes planes.

337. Exercices sur les propriétés métriques des courbes planes (longueur, courbure, …).

338. Exercices sur les propriétés métriques des courbes de l’espace.

339. Exemples d’intervention de transformations planes pour l’étude de configurations et de lieux géométriques.

340. Exemples d’étude des isométries laissant invariante une partie du plan, une partie de l’espace.

341. Exemples de groupes en géométrie.

342. Exercices de géométrie en dimension 3.

343. Exercices de construction en géométrie plane.

344. Exemples de choix de repères pour la résolution d’exercices de géométrie en dimension 2 et en dimension 3.

345. Exercices de cinématique du point.

346. Exemples d’étude de problèmes de mécanique du point.

347. Exercices sur les triangles

B : la géométrie du triangle (Sortais)

201. Suites de nombres réels.

J : démontrer que le produit de deux suites convergentes est une suite convergente.

J : que peut-on dire d’une suite bornée admettant une unique valeur d’adhérence ?

J : les propriétés « R admet une borne supérieure » et « R est complet » sont-elles équivalentes ?

202. Etude de suites numériques définies par différents types de récurrence.

C : donner un exemple de suite définie implicitement.

203. Approximations d’un nombre réel par des suites. Rapidité de convergence.

204. Approximations d’un nombre irrationnel par des nombres rationnels.

205. Approximations des solutions d’une équation numérique.

206. Séries à termes réels positifs.

J : démontrer que la série de terme général 1/n^2 converge. Donner un équivalent de son reste.

J : donner un exemple de série satisfaisant le test de Cauchy mais pas celui de D’Alembert.

207. Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semi-convergence (les résultats relatifs aux séries à termes réels positifs étant supposés connus).

208. Espaces vectoriels normés de dimension finie, normes usuelles, équivalence des normes.

J : qu’est-ce qu’un compact ?

209. Applications linéaires continues. Norme d’une telle application.

210. Espaces préhilbertiens : projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie. Applications à l’approximation des fonctions.

211. Parties compactes de Rⁿ. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples

212. Parties connexes de R. Fonctions continues sur une telle partie. Exemples

J : une application transformant tout connexe en connexe est-elle continue ?

213. Parties connexes par arc de Rⁿ ; exemples. Exemples et applications.

214. Théorème du point fixe pour les contractions d’une partie fermée d’un espace vectoriel normé complet ; applications.

215. Suites de fonctions : divers modes de convergence et comparaison de ces divers modes de convergence. Exemples.

216. Séries de fonctions : convergence uniforme, convergence normale (les résultats relatifs aux suites de fonctions sont supposés connus). Propriétés de la somme, exemples.

217. Séries entières. Rayon de convergence. Propriété de la somme.

218. Développement d’une fonction en série entière ; exemples et applications.

219. Développement d’une fonction en série de Fourier ; exemples et applications.

220. Définition de l’exponentielle complexe et des fonctions trigonométriques. Nombre π.

221. Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples.

222. Propriétés de la limite d’une suite de fonctions d’une variable réelle (les divers modes de convergence étant supposés connus).

223. Dérivabilité de la somme d’une série de fonctions de classe C^k, k Î N^* U {¥} . Applications.

224. Comparaison d’une série et d’une intégrale. Applications.

225. Théorème de Rolle : applications.

226. Continuité, continuité uniforme de fonctions numériques définies sur un intervalle. Applications.

J : le produit de deux applications uniformément continues sur un intervalle l’est-il encore ?

227. Fonctions convexes d’une variable réelle. Applications.

228. Fonctions définies sur un intervalle à valeurs dans R ou Rⁿ : dérivabilité, accroissements finis.

229. Différentes formule de Taylor pour une fonction d’une variable réelle et applications.

230. Fonction réciproque d’une fonction continue, d’une fonction dérivable. Exemples.

231. Calcul de valeurs approchées d’une intégrale. Exemples d’estimation de l’erreur.

232. Intégrale impropre d’une fonction continue sur un intervalle ouvert de R.

233. Définition de l’intégrale sur un intervalle compact d’une fonction numérique continue. Propriétés.

234. Intégrales dépendant d’un paramètre. Applications

C : penser à étudier aussi le cas où le paramètre est dans une borne de l’intégrale.

235. Equations différentielles linéaires d’ordre deux : x’’ + a(t)x’ + b(t)x = c(t), où a, b et c sont des fonctions continues sur un intervalle de R.

C : on pourra admettre le théorème de Cauchy-Lipschitz

236. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants : écriture matricielle ; exponentielle d’une matrice.

237. Systèmes différentiels linéaires Y’ = AY à coefficients réels constants en dimension 2. Allure des trajectoires.

238. Equations différentielles linéaires à coefficients constants. Exemples

239. Fonctions de plusieurs variables : dérivées partielles, différentielle. Fonctions de classe C¹. Fonctions composées.

240. Fonctions définies sur une partie convexe de Rⁿ. Inégalités des accroissements finis. Applications.

241. Formule de Taylor-Young pour les fonctions de deux variables de classe C² ; Applications à la recherche d’extremums.

242. Suite de variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli, variable aléatoire de loi binomiale.

B : on trouve pas mal d’exemples dans les livres de prépas HEC (ex Leboeuf, Roque, Guegand)

243. Probabilité conditionnelle et indépendance.

B : on trouve pas mal d’exemples dans les livres de prépas HEC (ex Leboeuf, Roque, Guegand)

244. Espérance, variance, covariance, loi faible des grands nombres.

B : on trouve pas mal d’exemples dans les livres de prépas HEC (ex Leboeuf, Roque, Guegand)

245. Lois usuelles de variables aléatoires possédant une densité : loi uniforme sur un intervalle borné, loi exponentielle, loi normale.

B : on trouve pas mal d’exemples dans les livres de prépas HEC (ex Leboeuf, Roque, Guegand)

401. Exemples d'étude de suites de nombres réels ou complexes.

402. Exemples d’étude de suites ou de séries divergentes.

403. Exemples d'étude de suites définies par une relation de récurrence.

C : ne pas se restreindre au cas des suites du type u_n+1 = f(u_n)

404. Exemples d'étude de la convergence de séries numériques.

J : comment estimer la vitesse de convergence de la suite proposée ?

405. Exemple de calcul exact de la somme d’une série numérique.

406. Exemples de comportement asymptotique de suites : rapidité de convergence ou de divergence.

407. Exemples d’évaluation asymptotique de restes de séries convergentes, de somme partielles de séries divergentes.

408. Exemples d'étude de séries réelles ou complexes non absolument convergentes.

409. Exercices sur les suites de polynômes orthogonaux.

C : ne pas se limiter à des généralités académiques sur les polynômes orthogonaux mais aborder des applications à des problèmes d’approximations, de résolution d’équations différentielles, de calcul intégral.

410. Comparaison sur des exemples de divers modes de convergence d’une suite ou d’une série de fonctions d’une variable réelle.

411. Exemples d'étude de fonctions définies par une série.

412. Exemples de développements en série entière. Applications.

413. Exemple d’emploi de séries entières ou trigonométriques pour la recherche de solutions d’équations différentielles.

414. Exemples de séries de Fourier et de leurs applications.

C : donner des applications à la résolution de certains problèmes d’approximation, d’inégalités ou égalités ou de résolution de certaines équations différentielles.

415. Exemples d’applications du théorème des accroissements finis pour une fonction numérique d’une variable réelle.

J : démontrer qu’une fonction dérivable à dérivée nulle est constante.

416. Exemples d’encadrements de fonctions numériques ; utilisations.

417. Exemples d’approximations de fonction numériques ; utilisations.

418. Exemples d’utilisation de développements limités.

419. Exemples d’utilisation d’intégrales pour l’étude de suites et de séries.

420. Exemples d’utilisation de suites ou de séries pour l’étude d’intégrales.

421. Exemples de calcul d’intégrales d’une fonction continue sur un segment.

422. Exemples d’intégrale impropres.

423. Exemples d’intégration sur un intervalle.

424. Exemples de calcul d’aires et de volumes.

425. Exemples de calculs d’intégrales multiples.

426. Exemples d’étude de fonctions définies par une intégrale.

427. Exemples de résolution d’équations différentielles scalaires.

428. Exemples de résolutions de systèmes différentiels.

429. Exemples d’équations différentielles simples issues des sciences expérimentales ou de l’économie.

430. Exemples de recherche d’extremums d’une fonction numérique d’une variable, d’une fonction numérique de deux variables.

431. Exemples d’approximation d’un nombre réel.

C : pour toutes les méthodes proposées, savoir majorer l’erreur.

432. Approximations du nombre π.

C : pour toutes les méthodes proposées, savoir majorer l’erreur.

S : L’univers de π : http://www.pi314.net/

433. Exemples d’utilisation de changement de variable(s) en analyse.

C : ne pas se limiter aux changements de variables dans les intégrales

B : on trouve pas mal d’exemples dans les livres de prépas HEC (ex Leboeuf, Roque, Guegand)

434. Exemples d’étude probabiliste de situations concrètes.

B : on trouve pas mal d’exemples dans les livres de prépas HEC (ex Leboeuf, Roque, Guegand)

435. Exemples de modélisation probabiliste.

B : on trouve pas mal d’exemples dans les livres de prépas HEC (ex Leboeuf, Roque, Guegand)

436. Exemples de variables aléatoires et applications.

B : on trouve pas mal d’exemples dans les livres de prépas HEC (ex Leboeuf, Roque, Guegand)

437. Exemples de problèmes de dénombrement.

438. Exemples de calculs de la norme d’une application linéaire continue.

439. Exemples de calculs de la longueur d’un arc de classe C¹.

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