Thèmes favoris pour l’agrégation interne de Mathématiques
Afin de minimiser la lourde tâche de travail, il est essentiel de se constituer sa petite bibliothèque de thèmes favoris.
Il s’agit d’exercices ou de théorèmes que l’on peut replacer dans plusieurs leçons différentes.
De plus, un exercice peut toujours se placer dans une leçon de cours comme application d’un théorème.
Réciproquement, un théorème peut se proposer en exercice en découpant la démonstration en questions.
Un thème favori doit faire intervenir différentes parties du programme.
Voici (en vrac) quelques uns des mes thèmes favoris :
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Théorème des noyaux (13 Ko) PGCD dans K[X], théorème de Bézout. Applications Sommes et sommes directes. Applications Exercices faisant intervenir le théorème de Bézout Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles sur R ou C Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes |
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Un endomorphisme f est diagonalisable ssi il existe un polynôme P scindé simple annulant f (26 Ko) PGCD dans K[X], théorème de Bézout. Applications Endomorphismes diagonalisables Exercices faisant intervenir le théorème de Bézout Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles sur R ou C Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes Exercices sur la réduction des endomorphismes Exercices sur les endomorphismes diagonalisables |
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Théorème d’Hamilton-Cayley par les matrices compagnons (27 Ko) Déterminants. Applications Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles sur R ou C Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes Exercices faisant intervenir des déterminants |
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Formule d’inversion de Pascal (29 Ko) Exercices faisant intervenir des dénombrements Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles sur R ou C Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes Exercices sur les matrices carrées inversibles Exercices faisant intervenir des systèmes linéaires Exemples d’étude de suites définies par une relation de récurrence Exemples de problèmes de dénombrement |
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Groupe diédral (11 Ko) Exemples de groupes finis. Applications Isométries du plan affine euclidien, formes réduites. Applications Exercices sur les groupes finis Exercices faisant intervenir des isométries affines en dimension 2 et 3 Exemples d’étude des isométries laissant invariante une partie du plan, de l’espace Exemples de groupes en géométrie |
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Décomposition d’une permutation en produit de cycles disjoints (12 Ko) Parties génératrices d’un groupe Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications |
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Formule des classes. Application aux p-groupes (18 Ko) Exemples de groupes finis. Applications Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications Exercices sur les groupes finis Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z Exercices faisant intervenir les nombres premiers |
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Théorème de Wilson (28 Ko) Congruences dans Z, anneau Z/nZ. Applications Propriétés élémentaires liées à la notion de nombre premier Racines d’un polynôme à une indéterminée sur un c.c. Relations coefficients/racines. Exercices faisant intervenir les notions de congruence et de divisibilité dans Z Exercices faisant intervenir les nombres premiers Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles sur R ou C |
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Formule de Grassmann (7 Ko) Dimension d’un e.v. admettant une partie génératrice finie. Rang d’une application linéaire Sommes et sommes directes. Applications Rang en algèbre linéaire Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir la notion de rang |
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Théorème du supplémentaire orthogonal (15 Ko) Sommes et sommes directes. Applications Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Exercices faisant intervenir des projecteurs ou des symétries |
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Le groupe orthogonal est engendré par les réflexions (10 Ko) Parties génératrices d’un groupe Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Groupe orthogonal d’un e.v.e. de dim 3 Polygones réguliers dans le plan Exercices sur les isométries vectorielles en dim 2 et 3 |
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Théorème de Lucas : les zéros de P’ sont dans l’enveloppe convexe des zéros de P (14 Ko) Racines d’un polynôme à une indéterminée sur un c.c. Relations coefficients/racines. Barycentres : applications Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles sur R ou C Exercices faisant intervenir la notion de barycentre |
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Lien hyperplan – formes linéaires (10 Ko) Sommes et sommes directes. Applications Formes linéaires, hyperplans, dualité Exercices faisant intervenir des projecteurs ou des symétries |
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Lien endomorphisme antisymétrique – produit vectoriel (en dim 3) (23 Ko) Rang en algèbre linéaire Orientation d’un e.v.e de dim 3, produit mixte, produit vectoriel, applications Exercices faisant intervenir la notion de rang |
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Théorème de la perpendiculaire commune (10 Ko) Droites et plans de l’espace Exercices faisant intervenir des systèmes linéaires Exercices de géométrie en dimension 3 |
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Hyperbole équilatère et triangle équilatéral (19 Ko) Racines d’un polynôme à une indéterminée sur un c.c. Relations coefficients/racines. L’hyperbole dans le plan affine euclidien Coniques dans le plan affine euclidien Exercices faisant intervenir les relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme Exercices sur les coniques |
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Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire d’ordre 1 (27 Ko) Théorème du point fixe pour les contractions d’une partie fermée d’un e.v.n complet. Applications Equations différentielles linéaires d’ordre 2 |
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Règle de Raabe-Duhamel (25 Ko) Séries à termes positifs Exemples d’étude de la convergence de séries numériques Exemples de comportement asymptotique de suites Exemples d’utilisation de développements limités |
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Calcul de la somme de la série de terme général (-1)^n/(αn+1) (29 Ko) Séries à termes réels ou complexes : convergence absolue, semi-convergence Définition de l’intégrale sur un segment d’une fonction numérique continue Exercices faisant intervenir polynômes et fractions rationnelles sur R ou C Exemples d’étude de la convergence de séries numériques Exemples de calcul exact de la somme d’une série numérique Exemples d’étude de séries non absolument convergentes Exemples d’utilisation d’intégrales pour l’étude de suites et de séries Exemples de calcul d’intégrales d’une fonction continue sur un segment |
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Intégrales de Wallis – Formule de Stirling (31 Ko) Suites de nombres réels Définition de l’intégrale sur un segment d’une fonction numérique continue Exemples d’étude de suites de nombres réels ou complexes Exemples d’évaluation asymptotique de restes de séries convergentes Exemples d’utilisation de développements limités Exemples d’utilisation d’intégrales pour l’étude de suites et de séries Exemples de calcul d’intégrales d’une fonction continue sur un segment |
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Théorème de Darboux (13 Ko) Parties connexes de R. Fonctions continues sur une telle partie. Exemple d’application du TAF |
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Matrices stochastiques (35 Ko) Probabilités conditionnelles Exemples de recherche et d’emploi de vecteurs propres et de valeurs propres Exercices faisant intervenir la réduction des endomorphismes Exercices sur les endomorphismes diagonalisables Exemples d’étude probabiliste de situations concrètes Exemples de modélisation probabiliste |
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Déterminant d’une matrice circulante (26 Ko) Racines n-ièmes de l’unité dans C Déterminants. Applications Endomorphismes diagonalisables Exercices d’algèbre linéaire faisant intervenir les polynômes Exercices sur les matrices carrées inversibles Exemples de recherche et d’emploi de valeurs propres Exercices faisant intervenir la réduction des endomorphismes |
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Un théorème de Joachimsthal (32 Ko) L’ellipse dans le plan affine euclidien Coniques dans le plan affine euclidien Exercices faisant intervenir les relations entre les coefficients et les racines d’un polynôme Exercices sur la cocyclicité Exercices sur les coniques |
etc… etc…
Evidemment, ceci n’est qu’un début, mais j’attends toutes vos suggestions pour enrichir cette page !